历史匿名回执 ·
李思然老师亲手写的课程简介，先摆上，像游戏开局说明书： *本课程主要内容包括（0）曲面理论回顾；（1）微分流形的基本理论；（2）黎曼流形初探；（3）黎曼几何中的比较定理；（4）向量丛初探；（5）微分几何在物理、工程、数据科学等领域的初步应用* *本课程是大学数学与应用数学等专业的一门本课高阶课程, 也是学习现代微分几何、代数几何、几何分析、理论物理等学科的基础。该课程旨在系统阐述微分几何学的基本思想、基本概念及常用方法和技巧，提高学生的数学素养，培养学生的数学思维能力以及独立分析、解决问题的能力* 关于期末考试，公告如下，属于考前把地图直接拍你脸上那种： *大家好！关于《微分几何续论》的期末考试，大家可以关注以下topics。本次考试注重基础，特别是基本定义与定理。课程作业是很好的复习材料。* *（1）紧曲面的拓扑分类。给定planar model确定相应的曲面；可定向性。* *（2）光滑流形：向量场及其integral flow；李括号与李导数；Stokes定理。* *（3）黎曼度量：定义；经典例子（如三维欧氏空间中参数曲面的度量、任意维球面等）；黎曼度量诱导的黎曼流形上的距离。* *（4）Levi-Civita 联络及其协变导数（covariant derivative）：定义；局部坐标表达式；经典例子。* *（5）测地线：平行输运（parallel transport）；测地线方程（ODE）；Exponential map的定义；测地球（geodesic normal ball）。* *（6）曲率：黎曼曲率、Ricci曲率、截面曲率、数量曲率的定义与基本性质。* *（7）Jacobi场：第一与第二能量变分公式；Jacobi场的长度与曲率的关系；Cartan--Hadamard定理。* 上课自由度：高，来的人一般没几个，但是来的每个人都在认真听讲，属于教室空得像凌晨自习室，灵魂密度却爆表。 考核标准：作业50期末50，还有李思然经典的台词：只要你在试卷上让我看到一丁点nontrivial的东西，我就不会fail你！这句话像考场版免死金牌，但你得先掏出一个不平凡的东西。 授课质量：高 开局第一节课先回顾紧曲面分类定理（拓扑课上已经刷过的老副本），然后来了一点“小品”式内容：定向性；之后是一些微分流形基础；再往后是黎曼面topics，也很“小品”，对复分析、“复几何”属于轻松入门，延伸了一下Riemann-Hurwicz定理，还穿插一个结论：单摆非近似严格解。注意，这些“小品”式轻松课题不会考。 接着切进新地图：黎曼几何准备阶段。向量丛、李导数、李括号、向量场、推出拉回轮番上桌（这部分没引申一下范畴论有点可惜了），流也来了（这部分又和ODE中的连续动力系统有点联系）；张量分析简介主要搞概念辨析，毕竟几何就是这么个学科，“研究在符号变化下不变的性质”，每个几何学家都有自己习惯的符号系统。然后微分形式、Cartan's magic formula、一般流形上的定向性（top form相关）；之后正式进黎曼几何。 黎曼几何主要是测地线相关一系列topics，所有定理和概念都围着测地线转：一般向量丛上的联络、Levi-Civita联络、协变导数……一个核心引理是高斯引理，思想差不多是Geodesic ball的局部微分同胚性，测地极坐标的排面就在这里。 之后讲了一个小部分：完备性，主要是Hopf-Rinow定理及其相关结论。 然后是变分部分：能量泛函、距离泛函、一阶变分公式。 曲率部分是理论上最难算的地方，也需要一定的几何和物理想象；理解上，联络差不多是度量的一阶导数，曲率差不多是度量的二阶导数，最后导出一个非常有数学意义的量是截面曲率，与Jacobi field和能量第二变分公式有着千丝万缕的联系。“最后一个”nontrivial的定理是Cartan-Hadamard定理。有一个经典的Slogen，是陶哲轩说的，*“在拓扑群相关的很多问题/定理中，第一个条件是群相关的代数性质，第二个条件是很弱的正规性条件，然后就得到很强的结论”*，我觉得这个Slogen当指挥棒还是比较有趣的，某种意义上Cartan-Hadamard定理是几何版的表述。 “最后一个”打引号的意思是最后一个要掌握的定理，其实最后一节课讲的东西大部分不用掌握，比如Morse Lemma，Bonnet-Myers定理…… 哼，上午考完他还说下午就抓紧把卷子判完晚上直接出成绩，结果到现在也没出，翻车了吧。 李思然老师是我在交大见过授课最“丰富”的老师，这个丰富并不是单纯指课程内容，而是上他的课你一秒都不想走神。