Tobias Diez · 微分几何修读档案

课程内容：同别的评论 上课自由度：高，高到你怀疑老师是不是已经把你从花名册里划了，主打一个你爱来不来。 考核标准：比较简单，能带一张公式纸进场，这纸就是你的第二个大脑，还是不错的。 授课质量：讲义属于半成品艺术，前面曲线那部分还能看，往后从切向量开始就进入了玄学叙事——很多东西定义讲义里没说明白就咔咔往前推，有的只扔一个定义出来，但定义代表啥意思、蕴含啥思想？不给。除非你全程认真听课，但哥们没认真听，所以课上到底有没有把定义讲清楚，我也不确定。总之就是少了那种数学书里一本正经、字字有据的味道。而数学这玩意儿，某种程度上定义就是地基啊。有些概念啃不动的，建议去下个胡宇豪老师的微分几何讲义（传承上有），看完大概就悟了切向量、向量场、联络形式这种东西究竟是何意味，然后才轮得到你去理解后面的曲率、Gauss绝妙之类的。（我就是卡在切向量上，不知道为啥非得写成偏导的形式，甚至还能往偏导运算法则里代，直接把我整崩溃了，那会儿gpt还没那么猛，问也问不出个所以然。）胡宇豪的讲义学下来应该不会有这种问题。 Diez除了讲义其他都挺好的，最起码挺适合双学位。这次后半学期是肖舒予上的，也挺好的，有时候用中文解释，感觉甚至比Diez还好一点。 给分也挺友善，期末就拿着公式纸一顿抄，就算不会应该也能整个80以上，但学得到底咋样全看主观能动性。我当时时间没赶上学，后面测地线高斯绝妙啥的全是临时抱佛脚，考试大题直接空着，别的题对着公式纸套路一下，总评也有89。 ps.工科的课上多了，感觉数学学院的老师都很负责任很有科学精神，也很聪明。不像你大部分工科老师只会念ppt，一点严谨的科学思维和科学追求都没有，感觉都傻了。

英语水平属于是战五渣级别，坐教室里听天书那种吃力。这学期tobiaz就露了10次面，后面直接换老师接力了。但说句良心话，课程内容还是挺有意思的，考前我连夜突击tobiaz之前发群里的讲义和作业题，发现整体逻辑清楚得像被人拿激光笔照着路标走。可惜我人太菜，很多地方脑子里还是一团浆糊，再叠上一层英语上课的debuff，属于难上加难plus。考试考得也就那样吧，有的题我连题目想让我干啥都没看懂……但总体64开的考核标准摆在那，如果计算题全对或者算得八九不离十（比如tnb、高斯曲率、平均曲率、测地曲率、法曲率这些老熟人），还能带一张cheatpaper进场，想过应该没啥大问题。我觉得tobiaz和肖老师上课内容还是可以的。如果你英语过硬、空间想象力吊炸天、自学能力还能单刷副本，这门课值得冲。否则如果是选修课，还是老老实实选点中文授课的吧……（出分再补吧） —— 刚考完拓扑出来一看，嚯，微分几何出分了。一学期全程在听不懂洋文、看不清板书，只能把板书截下来丢给gpt转成latex才勉强看懂那么一丢丢，作业题也是抱着gpt大腿混过来的。结果没想到还能给我捞到80多分，给分还是可以的，但也没到封神的地步，挺客观的。这期末满分就是100，也没搞以前那种拟合分数的花活，平时分就是influencing那部分的分数，小数点都一毛一样。下一届备考的听我一句，如果只是想过，把计算题做好就行了，范围包括但不限于上面提到的那几位。跟chatgpt说我要算这些的固定步骤，把这套步骤抄到cheatpaper上，再拿这些步骤去练作业题，或者让gpt给你出几道差不多类型的，确认答案是对的，会套就行。这些都做对，平时作业认真写（可以自己先写一遍，再让ai改一改），那就稳过。不过纯英文教学对本人来说属实折磨，能选别的还是选别的吧……

出分后补：划重点，以后这门课未必会拟合期末分了。翻译一下，就是给分往后可能相对低一点，想拿高分得平时勤快着点，但想过还是不难的。 ———— 这学期拓跋嗣只上了半学期课就拜拜了，不过作业倒是一直没怎么变。至於考试，没觉得简单，别把宝全压在test exam上，题型未必按那个来出，甚至连作业里都不一定给你布置，一切以上课内容为准，其他都是浮云。

~~以下内容随上随写~~ **鸽掉了（** 课程内容（因为是连着看的所以可能周与周之间有点出入）： - 第一周：二维情形下的参数化曲线、正则曲线、曲率，曲线新手礼包直接打包上线。 - 第二周：推导什么情形下简单loop内部可以放下一个单位圆，以及Winding number的计算，开始玩“圆能不能塞进loop”的拓扑版俄罗斯方块。 - 第三周：三维空间内的曲线和三维情形下的Frenet-Serret frames登场，再定义光滑曲面、正则曲面、参数曲面，曲面户口本挨个盖章。 - 第四周：国庆节国定假日，数学放假，我也放假。 - 第五周：Coordinate Chart出手，给曲面下定义，再抠曲面上某一点处的切向量。 - 第六周：切向量场、1-form，符号开始上强度。 - 第七周：1-form的积分和2-form，积分怪刷屏。 - 第八周：2-form的积分、广义斯托克斯公式和活动标架，脑内标架开始转圈。 - 第九周：高斯映射和形算子、第一第二基本形式，名字像武林内功。 - 后面待补充。 上课自由度：高，来不来随意，教室仿佛自助区。 考核标准：期末考允许携带一页正反面A4纸的材料，字号不限，官方允许你制造一页纸的物理外挂。 备注：这门课的讲义在github上的仓库地址是[tobiasdiez/LectureCurvesSurfaces](https://github.com/tobiasdiez/LectureCurvesSurfaces)，打算选课的同学可以先参考预习一下，此外如果能完善、勘误讲义的话tobias会给一些额外分，他真的好善良，我哭死，开源菩萨。 授课质量：高，但是我英文好烂（悲 考完了，题不难，但我纯菜，曲率算了半小时气笑了。 --- 考试当天凌晨upd： 肖老师讲课质量也很高，可惜后面复习时间紧得离谱，回放没来得及看完……等考完闲下来，寒假应该会继续往下追。 课程中段部分（1-形式，2-形式跟后面第一第二标准型那里）第一次碰的时候，在符号定义的概念理解上可能会略感吃力。要是学到这儿觉得难受，可以先翻翻彭家贵那本微分几何，弄明白这个量或者函数在表示什么，再回来理解tobias讲这个量的定义域与值域一类的抽象定义，可能能帮你缓过来。 刚把自制的开卷资料扔到传承上了，没要积分（夏の魔法那份）。真紧急可以拿去应急；时间充足的话建议只当参考，开卷材料自己手过一遍，对课程理解更有用。 --- 20260104早上upd： 昨天1.25倍速刷了四周，不是我悟了，是再不刷就来不及了。 纯听还是不太行，得提前看教材或笔记这类东西预习一下，直接硬听还是有点难跟上……不过老师讲得不错，听下来还是有收获。可能数学就是这样，优美但难度颇高…… 1117之后这门课就交给肖老师继续讲了……还剩七周要看……加……加油？ --- 20260102upd: 上课一直在摸鱼，期末复习火葬场中…… 这门课的英文浓度属于**纯粹的、字面意义的、原教旨的**级别：从老师讲课语言、参考资料、作业题目、期末试卷，到要求学生期末作答语言，绝大多数内容都是英文。（不过作业可以用中文写） 笔者开局听不懂英文->跟不上->摸鱼->更加跟不上，摆了一个学期，现在期末复习猛猛突击。既然期末要求用英文作答（助教原文： > Note: Our exam requires answers to be written in English. 所以选择看canvas回放而不是去找其他的网课。 平心而论，这课对学生英文水平要求不算特别高。按我听下来的体感，大概走这条流程： 听关键词知道大概讲关于什么->看板书了解讲的具体内容->根据板书反推老师刚才在说什么->看讲义补充理解 这套走完，能听懂80%左右内容（作为英语水平参考，笔者六级裸考挂过一次）。 昨天跟今天把前四周内容一倍速过了一遍， 明天继续（瘫） --- 20250920upd: 学软件的，被老师Github瓷砖吓晕过去了。 p.s. 今年第一节课随机掉落罐装可乐雪碧。

因本人英语水平过于艺术，这门课我全程自学（最后总评90+），这条给同样准备单飞的学弟学妹当代餐。 参考教材：微分几何第二版（彭家贵，陈卿），b站课程：微分几何（合集）（up主perrogg）。 b站视频把参考教材第一部分全覆盖了，共25节，和Tobias课堂上讲的内容90%一致。按我的经历，一周两节，每节2.5h左右（现场听课的时间量也差不多），十三周搞定。另外要补外微分那块的内容（可翻知乎），再看最后几周实际讲到的位置，决定要不要把参考教材第二部分的平面曲线整体性质（绕数那类）和曲面整体性质（紧曲面的Gauss映射这些）也自己补上。 因为教材不同，内容顺序不一致可能会让平时作业写得不太顺，但那些内容参考教材里都有，知识的完整度不受影响。 就期末考核来说，重点在第三章（曲面的局部理论）加4.5、4.6节（正交标架）加5.3节（测地曲率），超过一半的大题都压在这块知识点上；曲线那边主要是算空间参数曲线的曲率和挠率。自然标架（注意不是正交标架！！！正交标架真的重要）下的运动方程和结构方程，还有liouville公式，考试基本不怎么碰，但这俩非常香（用第一基本形式，前者的Gauss方程可以直接算Gauss曲率，后者搭配夹角可以直接算测地曲率）。再补一句，写作业和考试的时候，建议把weingarten变换的符号W统一写成Sp（也就是Tobias嘴里那个形算子）。 另外，据听说Tobias是位非常好的老师，所以非必要请强烈建议去现场听。 最后，祝学弟学妹期末全员满绩走人。

课程内容：主线基本按O Neil的Differential Geometry的顺序推进，也拿了Do Carmo那本老牌圣经作参考，但拓跋嗣自己有私心偏好的讲法，跟这两本书都对不上号 上课自由度：相当自由，拓跋嗣从不管台下的各位在捣鼓啥，签到这词刻不到他字典里 考核标准：40 ％grade-influencing homework （可不是交了就白给满，分数看canvas上捞到多少）➕60 ％final（不难而且拓跋嗣是人形捞手）里头还夹了一截exam-qualifying homework，不进总成绩，可分数线得越过50 ％才准获考试入场券（不过据lz目测没人被这条绊倒过），考试还挺贴心开放cheating paper随身携带。 授课质量：很高，拓跋嗣讲英语对理解方面完全没绊脚石，他的微分几何课跟中文班也是两个物种，复杂的计算大砍一刀，花里胡哨的符号没兴趣堆，专心追那更直观更骨头里的东西。得单拎出来说的是，微分几何不少重要的结论都被拓跋嗣挪出来扔进了作业，每回的exam-qualifying homework都闪着那种欲招真理火花的启发感，这些关键结论他课堂上半个字不带提，倒是引着大家用课上那套知识自己敲出证明。所以往后想进修这门课的同学们，如果想捕捉微分几何里更深更硬的宝贝，拜托把exam-qualifying homework 内容一口气扫干净。可期末考那会儿拓跋嗣扔出来的主菜偏偏是上半学期和中期的那一盘，高斯-博内定理竟然不出场，连高斯曲率这样的大牌也给不了几个镜头，整张卷最抢戏、篇幅最铺张的是frenet frame和moving frame，所以这卷子出得属实不难，是在卯足了劲儿送分。lz考那张卷时没睡好，脑子跟浆糊一样，出了考场一度以为自己要卷铺盖，结果出分才发现期末是被拓跋嗣狠狠捞了一把，这人是真的好好。美中不足的是，lz观感这学期这帮助教给平时作业的评分标准挂上了悬疑滤镜，作业交上去了也没人及时开讲解贴，习题课笔记本写的也没多少章法，这门课到头来还愣是不四舍五入往上进一位，害lz最后被极限卡绩伤到了。可这些缺点搁整体上看那绝对半颗星吵都不值的瑕不掩瑜，拓跋嗣真心是位业界良心老师，满星好评当之无愧。

对40739的一点补充:老师(或者助教)好像说过期末是赋分制，按照期末考试的排名赋一个期末分，别以为考完全身而退的人人都领同一档。平时成绩是严格按照平时分，也就是grade influence 那部分来的，是多少就得多少，不是交了就给满的。所以交一次也算功劳，那这口径里等于没有。

前人的肾都已经透支完了，今年讲的内容和#28192里说的一模一样，就是最后一节课时间不够，极小曲面它逃过一劫没讲。 今年作业十三次，每次分grade部分和test部分。平时分照着grade部分严格摁着算，你老老实实认真交作业也可能被薅掉2到3分，而test部分得拿过一半分才有资格蹭期末考试的门，所以test那块可以挑着点做。考前发了张模拟卷，拿来复习挺香，交了老师还真给批。 实话说期末卷没我脑补的那么吓人，横向对比其他也就那回事，这张卷子总分60分，在平时和考试四六开的格局下，我本来以为是考多少吐多少，后来发现好像并不是这么运行的。 老师是真的好老师，奈何我英语水平普普通通，老师又不签到，所以我一整学期都在canvas上听回放，方便随时暂停倒带，人一直没到场，内心还是有点愧对tobias。 另外，虽然平时分被抠了一点，但老师在期末给分这件事上总体就是个圣人，我自己觉得期末做得凑合，瞅了眼成绩还能看。 ———————————————————————————————————————— 刚刚又把分扒拉了一遍，我感觉老师不是批卷松，而是给大家整体拟分了。卷子总分60分，可他给的是百分制、还精细到小数点后两位，我小数部分0.93，这形状根本倒退回不了整数或者0.5的卷面成绩，说明他并不是简单粗暴地÷6×10线性格放缩，应该是拟了分，要么按分要么按排名。总之在给分上拓跋嗣确实是个豪仁。

再补一刀考核标准：从我这分数倒推，2023-2024-1期末赋分标准大概是100x/全班最高得分，就问你离不离谱。

楼上已经讲得密不透风了，老师真的特别好，我就补一刀： 他写得长得像“^”的那玩意儿，其实是阿拉伯数字1。第一节课我直接看吐，一整晚人都挂着“我是不是学废了”的懵逼debuff。

课程内容：曲线论曲面论双拼套餐，参考教材O'Neil《Elementary Differential Geometry》，陪跑读物是Do Carmo那本经典《Differential Geometry of Curves and Surfaces》，期末卷子上直接明牌写了：这课就是曲线和曲面的微分几何；教材我一眼没翻过，纯靠耳朵接波+手抄笔记，课后卡壳就把笔记当经文反复诵读；另外的备选参考有Millman & Parker、Shifrin，还有一本中文的彭家贵&陈卿 上课自由度：高，但老师是外国友人，课后不自学的公式就是：不听=不会，我的忠告是老老实实坐前排听（除非你英语约等于母语者？那上课神游大概也差不多，老师口音不是那种教科书级美音英音，但绝对够用。要是能接住他偶尔扔出来的玩笑，那就稳了）；可就算课后自学也不见得能救回来，因为老师的授课和教材的关系是mostly but not strictly，到期末有同学表示一看书发现和老师讲的进度差得还挺远 考核标准：Homework30+Exam70，期末允许 a sheet of a4 paper, both sides，但我开考前在考场目击一位同学带了至少两张a4纸那么大的纸，不知道监考老师收没收 授课质量：高，基本能把所有概念盘明白 再把课程内容掰开细说： - 曲线的定义、参数化、速度、长度、弧长参数、平面曲线的Frenet frame/Moving frame、曲率、密切圆 - 简单闭曲线、Jordan curve THM、等周不等式（不含证明）、Moon in the paddle、Winding number、空间曲线的Frenet frame以及Frenet equation、挠率 - 曲率挠率的几何意义、曲线基本定理、曲面论开场：切映射、曲面的参数化 - 坐标卡、Graph与Level sets两种造曲面流派、切向量、切空间、向量场、方向导数、微分形式（和普通函数的微分形式不是一回事） - 对偶基、1-形式在曲线上的积分、2-形式、楔积、外微分、2-形式在曲面上的积分 - 庞加莱引理（曲面上的积分版）、曲面的定向、Moving frame、联络(**个人认为最重要的微分几何工具**,联络是后续工作的基石) - 第一/二嘉当方程、高斯映射、Weingarten map(Shape operator) - 第一基本型/第二基本型及其表示、法曲率、主曲率、主方向、点的分类、Darboux frame - 高斯曲率、平均曲率、若干公式、内蕴/外蕴、推出/拉回、等距映射 - 局部等距映射、高斯绝妙定理、tangent frame、全脐点恒曲率曲面必为平面或球面 - 测地曲率与法曲率、测地线、沿曲线的向量场、协变导数及其性质、切向量的平移、holonomy angle、variation vector field - 测地线使能量与长度最小、测地极坐标、指数映射（作为测地极映射） - 曲面基本定理 - Gauss-Bonnet公式、面积元、三角剖分、欧拉示性数 - （续）Gauss-Bonnet公式的证明、几个应用、（不考）极小曲面 跟中文教材（彭、陈那本）对比，计算量小了一大截（和我之前从学长那听说的微分几何画风差距还挺大），一共五次作业内容不多，主要是帮你消化课上讲的东西，一部分计分作业，一部分不计分；本来说期末难度和作业差不多，实际上手感觉远困难，考完感觉自己已经凉了（不确定的题有点多，我第一次算高斯曲率就翻车浪费了好多时间，导致最后几道题写得又草又飘，紧曲面Gauss map满射球面我直接糊了个伪证），但给分相当宽松，我觉得自己也就70分水平居然能拿90！ 中间有一次补课还发了奥利奥之类的饼干 感谢Tobias Diez！ - - - 下学期Tobias Diez老师好像又开微分几何了，回来打个补丁再唠两句。 这门课主打曲线论和曲面论，属于经典几何的赛道；含Gauss绝妙定理和Gauss-Bonnet公式，放全世界也算标准配置（除非你要对标法国和ETH那种变态级神仙学校，那人家课程内容确实更猛。不用纠结跟杨义虎老师、来米加老师的课有啥区别，说白了以后研究方向跟几何沾边，该学的早晚都得学，差不了多少；以后不搞几何，多学那一学分的内容真没啥意义，将来真要用还得重新学。这也是我安利这门课的理由之一，总的来说计算少、作业少、给分好），而且我觉得老师的授课也不止这些，还挺强调几何直观、循循善诱的，节奏也不紧不慢。 但我看下学期这课还在东下院115这个大教室上，就忍不住回忆起刚上这课的感受：老师字**写得比较糟糕，而且比较小，坐后排且英语水平不太高的同学有可能听不懂也看不清**，于是第一周第一节课间就出现了很多人拎包跑路的奇观……可能得花几周适应老师的字体。不过单论备课、讲课思路和板书结构，还是相当清晰的。希望同学们做好心理准备。