李友林 · 拓扑学基础修读档案

数学专业的听好了 课程内容：10节课点集拓扑+6节课代数拓扑，课本直接打入冷宫，靠讲义续命 上课自由度：高得离谱，签到这个概念在这门课的词典里查不到 考核标准：20%平时作业+5%小论文+75%期末考试 授课质量：高，密集投喂且证明写得像慢动作回放一样仔细，唯一漏网之鱼是Uryson定理、Tiesz定理和van Kampen定理没证。 期末属于上强度级别，而且是逐年坐火箭的那种。考法固定三部曲：先默写定义，再证简单定理，最后比较难的定理上来把你按着摩擦。点集拓扑主打紧致性和连通性，代数拓扑主打同伦、形变收缩、覆叠空间和van Kampen定理。

课程内容：点集拓扑+少量代数拓扑（其实一点也不是少量） 上课自由度：高 考核标准：平时20+论文5+期末75（期末还挺难的） 授课质量：本质上是照讲义复读，不过比起教材能闻出栽了老师个人理解的味道，总体来说严谨到位（尽管我对几何提不起兴趣）

课程内容：比春季时期多出一份福蝶空间的加量装。 上课自由度：高 考核标准：劝你赶紧跑…这考察的跟秋季那套压根不是一个宇宙的概念…遍地全是你看一眼不会认为是重点的东西，卷子还难得想让人原地失踪。 授课质量：还算凑合。

课程内容：点集拓扑，基本群和同伦基础，覆叠空间，2维流形基础 上课自由度：高 考核标准：非常宽松 授课质量：高 评分慷慨到令人发指，平时作业错那么几处小地方，总评都能满分，期末论文也是满分走起。期末考卷那叫一个宽松，题目难度中等但题量堆得惊人，我一着急手抖犯了些错，还有题写得不太严谨，粗粗估下来严格错误得扣5分左右，不严谨处再扣5分左右，万万没想到最后竟然给了97，末了总分97.75≈98。 唯一的改进空间，是老师因为时间关系没把全部定理都给证完，好多麻烦的定理关键步骤都跳过去了。

课程内容：点集拓扑外加代数拓扑入门，前半学期的点集拓扑跟数分三属于是异父异母的亲兄弟，重合度高得很。内容基本follow雷逢春那本书，前后顺序可能还有点自己的编排。 上课自由度：高到放飞，出勤这事老师根本不查。 考核标准：20平时+5小论文+75期末，期末不算难，你要是每次作业都独立肝完，基本就稳了。每道题都先让你把定义默一遍，属于分段式给你递绳子，所以讲过的定义尽量都往脑子里塞。卷子清一色英文，学的时候记得中英对照着背。 但是！我刚交卷才发现最后一页还趴着一道12分的题😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭我chovy怎么这样啊😭😭好难过。 授课质量：零零散散听了一半的课，老师讲得是真的好，细得跟绣花似的。来听课的效率基本大于自己啃书，能做到这一条就已经说明授课质量够硬了。 给分后面再观望吧。😭捞捞我这个数不明白页数的糖b吧 再编：强烈建议印卷子的时候别让最后一题单占一页，那么大一张白纸就左上角有字，不完全翻开真的以为是草稿纸😭😭😭怎么就不数数页数算算分数啊我是真的糖b。 出成绩了😭感觉老师捞了一手。长记性了以后一定仔细检查卷子。。。。

非致远，数院的课，但没有这个选项，就搁这儿评论了。作业拿101教材布置（听选过的同学说应该是交了就给满，另有个5分的小论文），可讲课顺序完全按老师自己的想法飞，做笔记的时候一旦漏掉正在讲的那一茬，回头找起来就挺遭罪。前面点集拓扑还行，比较简单掀不起大浪，可后面讲提升那一大段证明的时候就因为这个掉了队，再往后代数拓扑的部分直接全程懵圈（老师会给他的教案，但写得没板书那么清楚，啃着挺费劲，不太推荐）。老师讲得还是可以的，先给三分，等明天考完看看考核难度、看看出分捞没捞再给最终评分吧 新编：期末题量巨大无比，手不熟练的话很难写完（好像听说是春季学期量给得大，秋季学期会简单点），分值是76分的点集拓扑+24的代数拓扑。

期末真的非常简单了，简单到怀疑题目是不是提前被谁对过暗号。

上课自由度：极高 考核标准：20平时+80期末 授课质量：挺好 平时作业交了就算数，考试也友好得像接待亲友，对非数学专业的同学难度也适中，一堆基础概念的考察，神中神

前面有位uu已经把课的内容扒得底裤都不剩了，我就负责输出情绪价值，课程内容这块我直接躺平。 平时分这玩意儿我感觉是闭眼撒糖的？我作业明明被扣过分，结果平时分照样满血，跟开了锁血挂一样。and老师要签到的话会提前在群里喊话，主打一个突袭之前先发预警。 出分那一刻我属实有点破防😭😭😭这期末成绩我怀疑是老师拿起重机把我从挂科深渊里硬吊上来的，哭死😭😭😭 （btw 我说的这个是非致远版，看之前评价应该比致远版简单，而且打捞力度也更猛一些？致远uu对不起＞人＜）

**本评价针对非致远的班级** （回忆版期末我一坨糊这条评论最底下了，自取） 出分了，老师那边应该是动手捞了，考完那会儿我都掏出手机准备查补考公告了（（（ 平时分嘛，大概就是交了给满、不交扣分，本人作业欠的账……略多（眼神游移 --- 这考试跟传承上前两年的卷子能是一个题量？？感觉前两年是来散步的，我们这届是来跑马拉松还被要求途中背课文： 乘积拓扑、连通空间、连通子集、第一、二可数空间、紧致空间、紧致子集、同伦、同胚、可缩空间、零伦映射、Seifert-van Kampen 定理 以上全是考点概念（要当场默写定义那种），此外还有一大堆证明排着队等你 --- 课程内容：基本等于雷逢春《基础拓扑学及其应用》前六章，但讲课顺序跟书本玩的是错位时空，此处贴一下canvas的课程大纲 > 概述，拓扑空间，连续映射，嵌入，同胚，分离性，可数性，连通，道路连通，紧致性，商映射，商空间，曲面，流形，同伦，同伦等价，群论初步，基本群，基本群的计算和应用 实际讲课也大致这顺序，本学期这门课共14周，前10周主刷点集拓扑，第十周尾声开团打同伦，进入代数拓扑副本 上课自由度：高，点名前会先打招呼，逃生窗口管够 考核标准：平时分（作业）20%，期末80% 授课质量：高，拓扑学还是门有意思的学科，听完一遍回去看上学期的实变居然还能品出新味儿（提前选课导致的神秘修读顺序），建议排在实变函数之前修读 老师有自己的手写笔记，但上课主要走板书路线，偶尔开投影讲讲笔记，传承上能扒到老师的笔记压缩包 --- ### 2025-2026秋季学期期末回忆版试题： 1. 给出R上四个拓扑，要求前一个比后一个严格精细 2. 1. 什么是Y1×Y2上的乘积拓扑 2. 证明37页定理2.1.7 3. 1. 叙述72、73页定义4.1.1和定义4.1.2 2. 证明74页引理4.1.1 3. 证明74页定理4.1.4 4. 1. 叙述61、62页定义3.1.3和定义3.1.4 2. 证明度量空间为第一可数空间 3. 证明n维欧式空间为第二可数空间 5. 1. 叙述87页定理4.3.2 2. 证明88页定理4.3.5 6. 1. 叙述98页定义5.1.1 2. 证明f,g:X->S^n同伦 7. 1. 叙述24页定义1.3.2和115页定理5.2.5？ 2. 证明同伦等价是等价关系 8. 1. 叙述102页定义5.1.5和零伦映射的概念 2. 证明CX=X×[0,1]/X×{1}可缩 9. 1. 叙述123页定理5.4.1 2. 求2T²∨3P²基本群 3. 给出基本群为<a,b|a^2 b a^(-2) b>的一个拓扑空间并证明 ~~笔者答考试卷子一个小时基本快写满两大面，那一秒魂穿回前年习概论的考场~~

课程内容：点集拓扑加上代数拓扑连带覆叠空间，难度属于是劝退级别。 上课自由度：高，出勤根本不管。 考核标准：25平时，75期末。 授课质量：高，老师讲得很清楚，但我当时误以为这门课只讲点集拓扑，于是果断选，现在看怕是要挂科了，不过这是我自己的锅（平时太摆加上作业就做了六次）。老师还会给你安利嵌入、曲面、流形。老师还是怕学生挂的，期中的时候就来找我让我退课，没想到后面我开始大摆，最后就挂了。感觉老师是真的捞不动了，主要问题还是在自己身上。 不过平时要是能认真琢磨完成一大半作业，考试应该也有六七十分了，而且这门课大一大二学大有裨益！所以还是鼓励来认认真真学。话不多说，大二再战。 这门课这学期重修了，虽然说也没花太多时间学，但感觉考试比去年难了些，最后还考了万有覆盖我是真没想到。老师应该会小捞一波。 个人觉得李友林老师写的讲义比尤承业那本书强多了，其实直接来上课和看讲义是一回事，上课重点盯老师画图和演示的部分就行。 这门课大概算数院学生第一次碰到的有难度的课，必须超级认真去抠，反复听课才能把知识点摸熟，别指望跟数分高代那些基础课一样有人捞你。尤其是代数拓扑那块，得反复盘它才有感觉。 就算挂过这门课，我还是会继续选更难的。当时我挂科的时候，同学们都觉得是我时候未到才没学明白，说白了还是我畏难情绪太重，不是没兴趣。这学期要是没翻车(说的就是你常微分)，我就接着学代数拓扑。 李老师怎么这么能捞？要是去年就照今年这架势捞我，我也不会挂科了，也说不定是我自己空得太多了哈哈哈。

首先这条只开炮给致远的拓扑学基础（在我个人体感里数院和致远这俩拓扑学基础根本该分家评，硬凑一块属于户口本乱点鸳鸯谱） 课程内容：一共15节课整 8节点集拓扑 7节代数拓扑 分布得还算均匀，像食堂阿姨打菜那样雨露均沾 上课自由度：emmm可以人不到教室线上签到（这么一听还挺自由） 但架不住早八一路干到早十一 其实有点小坐牢（也可能是我自己太菜了，牢底是我亲手焊的） 考核标准：反正我分数还可以 但我是真的复习了很久很久很久（至少四五个整天） 考试难度和数院那真不是同三个量级的 也比传承上22年的难了非常非常多 平心而论，个人感觉数院拓扑期末90的水平 来致远考试估计也就70左右 或许有人不懂这什么概念 但至少来一道E3挖去一个五节点扭结来算基本群，全都得当场老实 授课质量：讲得很充实 具体来说 点集拓扑我之前学得不错 所以觉得他讲得也不太快 然后从同伦啊覆叠啊提升啊开始 到代数拓扑的时候 我就觉得这速度有点痛苦面具了 点集拓扑我还能边记边理解 代数拓扑就只能先抄下来再说 回去再啃笔记了QAQ

感觉其他同学已经扒得底裤都不剩了，我来补几刀细节和个人求生指南（数院特供版）： 1.课程范围：基本就是Munkres1～32节（Normal Space）+第三章～第四章第五节，这以外的东西比如Tieze延拓定理、Urysohn度量化定理啥的，就只配拥有一个“提了一嘴”的待遇。课后去堵老师问，要是数院人的话最好自己把复叠空间啃了（或者溜去隔壁致远班蹭课），这玩意儿对拓扑后续课程有用。 2.修课建议： （1）建议来上课（大佬您随意），老师讲得真不错；zyh老师说过“拓扑学是需要老师领进门的，有很多基本思想与要点自学可能不容易把握”，我听完直接土拨鼠点头； （2）前置知识—— 集合论，这块可以翻Halmos《Naive Set Theory》。就这学期的课来说，良序性与选择公理相关内容不用会，其他的建议了解。前半学期点集拓扑那堆骚操作大半都能在集合论里找到影子，提前学一学不亏。 数分（高数可能不太够，我记得学工科的朋友说高数好像不讲R^n上的开、闭集这些）I、II，再加上数分III更是美滋滋。这部分主要是给你提供概念上的例子和理解的方便。具体点说，最好熟悉度量空间、连续函数、R^n上的点集，还有连通、道路连通、紧致性这些基本例子。 抽代基础知识，这一块是后半学期代数拓扑的地基，老师上课会讲但提前摸过肯定更好消化。具体说主要是群论，群的概念、群同态、群的构造（直和、商群、自由群）这些。要掌握复叠空间估计得再深一点，欢迎补充。 （3）老师节奏跟开了倍速似的，建议课前预习或课后复习。这学期大概顺序是Munkres第一章、第二章、第四章、第三章，《基础拓扑学讲义》第三章、第四章。 （4）每周作业别当废纸，既是复习上课内容，又能给期末备考指条明路（助教习题课上强调考前最好把作业题再过一遍）。 （5）期末备考：近几年卷子整体比较基础，点集拓扑部分重点把基本概念、定理、命题及相关证明拿捏住；代数拓扑部分重点包括但不限于零伦的判定、同伦的构造、计算基本群的一众方法等等。

身为安泰人 这门必修像一口井 下去之前先插个牌子：备好体力。前段点集拓扑勉强能喘 概念像暴雨 但能从更祖宗的视角看淑芬和实变那些玩意儿。一到代数拓扑 哪怕是浅水区 我的脑壳当场超频 上课常年在云里 尤其没抽象代数的底 看到群像是看方言 完全听不懂。直到考前一晚复习 内蕴才偷偷开机 总算尝到一丝拓扑的甘甜 尤其van-kampen定理帮别的数学登台 妙到毛骨悚然！考试比上课作业落座到地板以下 参考传承里的疫情期间试题 题型几乎是复制粘贴。最后那节答疑务必立起耳朵 真香（🤪）还有老师临门改了给分标尺 厚道。听得出李老师本尊段位极高 只恨这门课的行文是拼图式 东一块西一块找不到龙脉。纯板书 无ppt 建议肉身预约第一排 否则人容易离线。

课程内容： Topology - Munkres & 基础拓扑学讲义 - 尤承业，这俩书都是只啃前一半，相当于点了两个全家桶然后各吃半桶。开局从集合论和映射热场，接着拓扑与拓扑基、子空间拓扑、乘积空间拓扑、连续映射、粘合引理、同胚、嵌入、分离公理（Hausdorff性、正则性、正规性）、可数公理（C1 & C2）、紧致性、连通性与连通分支、道路连通性和道路分支、商空间与商映射、闭曲面分类定理、同伦、定端同伦、基本群、连续映射诱导的基本群同态、道路转移同态、同伦等价、（强）形变收缩、Van - Kampen 定理，一路狂飙不带刹车。 以及一些群论基础：同态、同构、自由循环群、直和、自由积、正规子群和正规闭包、有限生成群、生成元和关系……总之是菜谱给全了,就看你胃够不够大。 上课自由度：散养模式，很自由，中间有几次签到，属于偶尔回来签个到证明你还活着。 考核标准：30%平时作业（交了就给满） + 70%期末考试。助教很负责，期末会给所有作业的答案。期末比较基础，都在课上有所涉及，不难，属于把人请进屋还顺手递答案那种温柔。 授课质量：很高。纯板书，没有PPT（数学课没有PPT是优点）。lyl老师其实很有意思，课上提问听不到满意的答案会露出“这都不会”的笑容。在一餐吃饭的时候碰到老师买馒头，有一种数学老师特有的古朴和钝感，像个古希腊人穿越到食堂打饭。 ___ 不得不说，拓扑学是很优雅的，优雅到令人牙痒痒。抽象与复杂之物到人类语言难以言说的时候，恐怕就只剩下艺术和数学才能表达，但艺术是模糊的，数学是精确的！讲到闭曲面分类定理的时候，真的感到数学家们的智慧和伟大。抽象的空间被简洁地概括并表达，完全算得上是艺术品！另外，lyl老师的课很有水平，Munkres的书有些地方很冗长，尤的书有些地方又缺乏细节，李老师几乎结合了两者的优点，清晰、优雅地把定理呈现出来，像个路由器把两个烂信号合并成一格满格WiFi。尤其是最后一节课，用拓扑学证明代数基本定理、Brouwer不动点，以及一道简单有趣的线性代数证明，真的让人感叹， 拓扑学竟然还能干这个！虽然我只是半个数学系的同学，拓扑学在我未来的研究可能也不大会用到（除非做微观理论…），但我还是非常羡慕数院的同学能够学到这样有意思的东西，探索人类想象的边界。

以下观点只供一个数院学生视角的使用说明书： lyl讲得挺好，就是音量像低电量的蓝牙音箱，所以我一直canvas全勤。上课举例子很勤快，这点对理解是加分buff；相比机械工业那本和尤的书，课上该砍的都砍了，没教得那么难，比如点集拓扑里的函数极限压根没上场。代数拓扑那段对数学系学生不太难——能听懂的数学课＋课堂上例子管够＋有答案且难度适中的作业＋难度适中的考试，这门课在教学思路上一气呵成。珍惜数院还能把课讲明白的老师吧，横向看看有的数学课真是史中史。我私心认为这是数院开班里合格且能打的课，因为我对lyl的教学思路挺来电，我给5分。 另外有人吐槽lyl内容之间的逻辑连贯问题，我猜是他为了减少讲授内容做的小取舍。数院中期会谈上lyl也说过，数院和外院学生听这门课的水平参差如山：数院有数分三和抽代根基，有些数学学生觉得简单到翘课，外院学生没碰过抽代所以他得插播一些知识，难度也不能拉满。所以我个人觉得lyl讲课有点发挥受限，他没有足够时间讲一些东西，比如列紧性，这对初学者串联内容之间的联系会有点影响。老师视角很高、他的内在逻辑是连贯的，但学生不是同一个高度，他只能尽力去补齐萌新理解拓扑内在连贯性需要的东西。

课程内容：Munkres 《拓扑学》点集拓扑内容➕尤承业《基础拓扑学讲义》代数拓扑前半部分内容（lz上的是数院版，不是致远版） 上课自由度：高，虽然中期有签到，但不算分，lz好几次没签上也没被扣平时分，课上老师不会管学生做什么，纯佛系管理制度。 考核标准：本来说是平时期末二八开，后来为了捞人改成了30％和70％，只要作业全交齐平时分就给满分，考试不算难但lz也没觉得很简单，考的几个定理证明都是书上或者作业里的，但是lz没有完全复习到，只好祭出略带抽象的不严谨证明，没想到最后被老师狠狠伸手一把捞出水面。考试题里还掺了基础概念默写，等同于白送差不多30分，大概是财神爷发红包。 授课质量：lz一开始线下去听，感觉老师声音偏小，坐第三排往后基本进入“加密通话”，听课体验也就那样，于是开始减少线下到岗。直到期末被尤承业那本书逼得要砸键盘（例题稀少，对定理的说明如机器人背稿），被迫听了回放，结果发现老师其实相当有水平，概念和定理证明捋得非常清楚，例题也有，帮助理解。授课质量其实相当高，但要线下听课，建议坐前两排，否则等于交学费买耳鸣。此外老师人真的非常好，期末大捞特捞，lz考完以为原地埋了，最后老师给了一个非常体面的成绩，就冲这，满星好评安排上。

注：同#39531，本点评只面向致远的拓扑，数院版可能不适用。 课程内容：点集拓扑+代数拓扑各半个学期。前半个学期点集拓扑基本就是淑芬三的复读机，听着听着以为走错片场；后半个学期代数拓扑难度直接起飞，像被按了阶跃函数按钮，前一秒还在地面，后一秒就给你送上平流层。 上课自由度：并不算很高，之前评论有点把人带沟里。会不定时、无提醒地签到，但似乎为了捞人竟然没因为没签到扣分，给李老师磕一个，这波是签到签到，分数照保。 考核标准：25平时（给了我满分，谢天谢地），75期末（比例确实有点高），平时分像小费，期末才是吞金兽。 授课质量：照本宣科，一手讲义一手黑板抄，中规中矩，肯定不如隔壁拓扑有意思。 代数拓扑部分对我来说属实有点大，期末考难度呈现逐年递增的特点，明显高于传承上的致远卷，远远高于传承上的数院卷，这课会挂人的。去年据说挂了两人，挂科率仅次于大名鼎鼎的复分析。万幸的是平时分虽然占比不高但老师没因为我漏签一次扣分，期末捞了一点但不算很多。这门课因为是四选三之一所以也相当于必修（总不能泛函+数值解吧？），还是认真学吧。致远之后改培养方案了把点集拓扑拆出来（具体我并不是很清楚），这门课如果变成纯代数拓扑了可能会更难（） 补充：还是有不少人高分的，我没学好看来是我自己的问题（悲

课程内容：参见#28886。不过这个课号底下好像住着两副面孔的课。我说的是致远数学培养计划里四选三那个版本。 上课自由度：不管你是在写作业还是在云游，教务的压力可能会逼出一发签到。 考核标准：25平时（给我拉爆了），75期末（这含金量有点过载） 授课质量：高，讲得很细，愿意跟的话耳朵能怀孕。 但考前我复习了整整五个整天，最后再看到拓扑两个字我胃里开始翻江倒海…… 期末的难度对比22-23的A卷直接超级加倍，是真的有点上强度…… 每次作业都要吃掉周五整整一个下午，属于本人实力太菜了：（ 不过跟泛函和数值解比起来，投还是投这个壮阳一点 主要是四选三这个机制本身就太搞心态了

课程内容：部分基础点拓+承上启下的商拓扑+覆叠空间前的代数拓扑（尤承业书）（同伦，基本群，SVK定理等） 点拓≈新手村，代数拓扑≈进阶地图，但好在课程名字里挂着个“基础拓扑学”，所以在代数拓扑这块并不会往死里挖，难度也没出现一柱擎天那种垂直起飞。 上课自由度：高，前面还有人装模作样在群里请假，后来发现压根不用装，直接消失也没人管；中间有过几次扫码，但估计线上也能看到。 考核标准： 25作业＋75考试（理论上是20 80，但大伙都说是1：3） 作业是全给满的，除非你连交都懒得交。 ----------------------- 考试分点拓＋代数拓扑， 前两道属于基础概念+小举例（拓扑是啥、给你个空间写几个拓扑这种），中段是点拓部分比较简单引理/习题的证明， 后段是代数拓扑，难度偏低，基本是公式化答题。就最后一题需要一点想象力，但也没打算为难人类，属于脑子里不会堵车的图像。 --------------------------- 出分了，感觉批得有点狠（也可能是我自己写得不严谨），这算不算和题的难度互相拉扯。 授课质量： 没ppt，黑板上英文版书，嘴里中文讲解，内容紧凑，节奏也紧凑，第一次学大概率理不清前后逻辑和整体框架，得靠课后自己总结。但只要跟着听，难度还真不高。总之就是节奏偶尔起飞，适应之后就顺了。 槽点在于：老师声音有时略小，有时黑板光线不对劲，英文版书有些地方字看不清，尤其当你第一次学、既没听清讲的是啥、又没看清黑板单词的时候（本人第一次见那个 orientable 可定向 就没听说也没看清）。 ----------------------------------------------------------------- 本人物理系，只上过两学期数学分析，还已经还干净了，也没跟老师上过抽代（自学了一点）。上这门得懂一点群的知识（代数拓扑要用），但确实也只是 一点。（老师其实会照顾，也会讲点群，但本人觉得还是自己先学点为妙）其余没有前置。总体感觉不难，只是初学时知识点又杂又碎，想熟练得整理总结，框架清晰了就发现没有坎。 ------------------------------------------- 上课是有收获的，尤其讲商拓扑那块会碰到“圈外”人一直在摸的各种曲面，环面、mobius band、Klein Bottle，属实有意思。初学时觉得用数学语言把这些玩意描述准确很带感。对拓扑这挂感兴趣的比较推荐选，给4分不给5分，纯粹因为老师音量、板书这些问题，不是因为内容差才扣的一分。 学完之后终于能脱离数学科普重灾区了，跟学完相对论就脱离物理科普重灾区一个道理。终于能看懂群u的娱乐讨论了：人的 genus 是多少？